Achilo ir vėžlio paradoksas, iškeltas senovės graikų filosofo Zenono, prieštarauja sveikam protui. Teigiama, kad atletiškas vaikinas Achilas niekada nepasivys gremėzdiško vėžlio, jei šis pradės judėti anksčiau už jį. Taigi, kas tai yra: sofizmas (tyčia įrodinėjimo klaida) ar paradoksas (teiginys, turintis logišką paaiškinimą)? Pabandykime suprasti šį straipsnį.
Kas yra Zenonas?
Zeno gimė apie 488 m. pr. Kr. Elėjoje (šiandien Velia), Italijoje. Kelerius metus gyveno Atėnuose, kur visas jėgas skyrė Parmenido filosofinės sistemos aiškinimui ir plėtrai. Iš Platono raštų žinoma, kad Zenonas buvo 25 metais jaunesnis už Parmenidą ir labai anksti parašė savo filosofinės sistemos gynybą. Nors iš jo raštų mažai kas išgelbėta. Daugelis iš mūsų žinome apie jį tik iš Aristotelio raštų, taip pat kad šis filosofas Zenonas iš Elėjos garsėja savo filosofiniaissamprotavimas.
Paradoksų knyga
V amžiuje prieš Kristų graikų filosofas Zenonas nagrinėjo judėjimo, erdvės ir laiko reiškinius. Kaip žmonės, gyvūnai ir objektai gali judėti, yra Achilo ir vėžlio paradokso pagrindas. Matematikas ir filosofas parašė keturis paradoksus arba „judesio paradoksus“, kurie buvo įtraukti į Zenono prieš 2500 metų parašytą knygą. Jie palaikė Parmenido poziciją, kad judėjimas neįmanomas. Apsvarstysime garsiausią paradoksą – apie Achilą ir vėžlį.
Istorija tokia: Achilas ir vėžlys nusprendė varžytis bėgime. Kad konkursas būtų įdomesnis, vėžlys tam tikru atstumu aplenkė Achilą, nes pastarasis yra daug greitesnis už vėžlį. Paradoksas buvo tas, kad tol, kol teoriškai tęsėsi bėgimas, Achilas niekada neaplenks vėžlio.
Vienoje paradokso versijoje Zenonas teigia, kad nėra tokio dalyko kaip judėjimas. Variacijų yra daug, Aristotelis išvardija keturias iš jų, nors iš esmės jas galima pavadinti dviejų judėjimo paradoksų variacijomis. Vienas paliečia laiką, o kitas – erdvę.
Iš Aristotelio fizikos
Iš Aristotelio fizikos VI.9 knygos galite sužinoti, kad
Lenktynėse greičiausias bėgikas niekada negali aplenkti lėčiausio, nes persekiotojas pirmiausia turi pasiekti tašką, nuo kurio prasidėjo persekiojimas.
Taigi po to, kai Achilas bėgs neribotą laiką, jis pasieks taškąnuo kurio prasidėjo vėžlys. Tačiau lygiai tuo pačiu metu vėžlys pajudės į priekį, pasieks kitą savo kelio tašką, todėl Achilas vis tiek turi pasivyti vėžlį. Vėl juda į priekį, gana greitai priartėdamas prie to, ką anksčiau užimdavo vėžlys, vėl „atranda“, kad vėžlys šiek tiek nušliaužė į priekį.
Šis procesas kartojamas tol, kol norite jį kartoti. Kadangi matmenys yra žmogaus konstrukcija ir todėl begaliniai, mes niekada nepasieksime taško, kai Achilas nugalės vėžlį. Būtent toks yra Zenono paradoksas apie Achilą ir vėžlį. Vadovaudamasis loginiais samprotavimais, Achilas niekada negalės pasivyti vėžlio. Žinoma, praktiškai sprinteris Achilas bėgs pro lėtą vėžlį.
Paradokso prasmė
Aprašymas yra sudėtingesnis nei tikrasis paradoksas. Štai kodėl daugelis žmonių sako: „Aš nesuprantu Achilo ir vėžlio paradokso“. Sunku protu suvokti tai, kas iš tikrųjų nėra akivaizdu, bet akivaizdu kaip tik priešingai. Viskas yra pačiame problemos paaiškinime. Zenonas įrodo, kad erdvė yra dalijama, o kadangi ji dalijama, negalima pasiekti tam tikro erdvės taško, kai kitas pajudėjo toliau nuo to taško.
Zeno, atsižvelgiant į šias sąlygas, įrodo, kad Achilas negali pasivyti vėžlio, nes erdvę galima be galo padalyti į mažesnes dalis, kur vėžlys visada bus erdvės priekyje dalis. Taip pat reikia pažymėti, kad nors laikas yra judėjimas, kaiptaip padarė Aristotelis, du bėgikai judės neribotą laiką, taip būdami nejudantys. Pasirodo, Zenonas teisus!
Achilo ir vėžlio paradokso sprendimas
Paradoksas rodo neatitikimą tarp to, kaip mes galvojame apie pasaulį, ir to, koks pasaulis yra iš tikrųjų. Josephas Mazuras, matematikos profesorius emeritas ir knygos „Apšviestieji simboliai“autorius, paradoksą apibūdina kaip „gudrybę“, verčiančią galvoti apie erdvę, laiką ir judėjimą neteisingai.
Tada ateina užduotis nustatyti, kas tiksliai negerai mūsų mąstyme. Judėti galima, žinoma, greitas bėgikas gali aplenkti vėžlį lenktynėse.
Achilo ir vėžlio paradoksas matematikos požiūriu yra toks:
- Manant, kad vėžlys yra 100 metrų priekyje, kai Achilas nuėjo 100 metrų, vėžlys bus 10 metrų priekyje jį.
- Kai pasieks tuos 10 metrų, vėžlys bus 1 metru priekyje.
- Kai pasieks 1 metrą, vėžlys bus 0,1 metro priekyje.
- Kai pasieks 0,1 metro, vėžlys bus 0,01 metro priekyje.
Taigi tame pačiame procese Achilas patirs daugybę pralaimėjimų. Žinoma, šiandien žinome, kad suma 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … yra tikslus skaičius ir nulemia, kada Achilas muša vėžlį.
Iki begalybės, ne toliau
Sumišimas, kurį sukėlė Zenono pavyzdys, pirmiausia kilo dėl begalinio skaičiaus taškųpastebėjimai ir pozicijos, kurias Achilas pirmiausia turėjo pasiekti vėžliui stabiliai judėdamas. Taigi, Achilui būtų beveik neįmanoma aplenkti vėžlio, o tuo labiau jį aplenkti.
Pirma, erdvinis atstumas tarp Achilo ir vėžlio vis mažėja. Tačiau laikas, reikalingas atstumui įveikti, proporcingai mažėja. Sukurta Zenono problema veda į judėjimo taškų išplėtimą iki begalybės. Tačiau dar nebuvo matematinės sąvokos.
Kaip žinote, tik XVII amžiaus pabaigoje buvo galima rasti matematiškai pagrįstą šios problemos sprendimą skaičiavimu. Niutonas ir Leibnicas formaliais matematiniais metodais priartėjo prie begalybės.
Anglų matematikas, logikas ir filosofas Bertranas Raselas sakė, kad „…Zenono argumentai viena ar kita forma suteikė pagrindą beveik visoms erdvės ir begalybės teorijoms, pasiūlytoms mūsų laikais iki šių dienų…“
Ar tai sofizmas ar paradoksas?
Filosofiniu požiūriu Achilas ir vėžlys yra paradoksas. Argumentuose nėra prieštaravimų ir klaidų. Viskas paremta tikslo išsikėlimu. Achilas turėjo tikslą ne pasivyti ir aplenkti, o pasivyti. Tikslo nustatymas – pasivyk. Tai niekada neleis greitakojui Achilui aplenkti ar aplenkti vėžlį. Šiuo atveju nei fizika su savo dėsniais, nei matematika negali padėti Achilui aplenkti šio lėto padaro.
Šio viduramžių filosofinio paradokso dėka,kurį Zenonas sukūrė, galime daryti išvadą: reikia teisingai išsikelti tikslą ir eiti jo link. Stengdamiesi ką nors pasivyti, visada liksite antras, o geriausiu atveju net tada. Žinant, kokį tikslą žmogus išsikelia, galima drąsiai teigti, ar jis jį pasieks, ar eikvoš savo laiką, išteklius ir energiją.
Realiame gyvenime yra daug neteisingo tikslų nustatymo pavyzdžių. O Achilo ir vėžlio paradoksas bus aktualus tol, kol egzistuos žmonija.
